陈省身：怎样把中国建为数学大国？

引言

先从我个人说起：我 1926 年入天津南开大学，1930 年数学系毕业。那时我的老师姜立夫先生是极少数有博士学位的人。现在听说在台湾的数学博士在二百人以上，全世界的中国数学博士当超过千人。在这样的基础上，如何使中国的数学发展，使在廿一世纪的数学史上，中国是一个重要的区城，自然值得我们深思。

今年一件值得庆祝的事，是中国在国际数学竞赛（International Mathematical 0lympiad）获得第一（第二、三名依次为苏联及美国）。不但如此，中国总分超出第二名苏联甚远。参加者中，有四人得满分，其中两个是中国人。中国参加这竞赛不久；1988 年得第二名，去年（1989）也是第一名。

这项竞赛是高中程度，不包括微积分。但题目需要思考，我相信我是考不过这些小孩子的。因此有人觉得，好的数学家未必长于这种考试。竞赛胜利者也未必是将来的数学家。这个意见似是而非。数学竞赛大约是在百年前在匈牙利开始的，匈牙利产生了同它的人口不成比例的许多大数学家！

在最高深最活跃的数学方面，中国数学家亦有许多杰出的工作，无法尽举，简述若干如下：

（一）1983 年丘成桐教授因为 Calabi 猜想及普通相对论的正质量猜想的证明，获得国际数学会议的 Fields 奖章，这是一个重要的国际数学奖。

（二）美国数学会每年选择一个最活动的专题，作为暑期节目（Summer Institute）的中心课题，集国际上这方面的专家，举行为期约三周的工作营。1988 和 1990 的题目分别是“多复变函数”和“微分几何”。这两科目里中国数学家是突出的。微分几何会丘成桐是主持人之一。两会中作特约演讲者有萧荫堂、莫毅明、田刚、项武义、李伟光等。中国这方面的人数，超过百人。其中才智之士，即将脱颖而出者，不可胜数。举莫毅明教授为例，他现在是巴黎大学教授。巴黎是二十世纪大数学家庞加莱（Henri Poincare）的根据地。莫毅明班门弄斧，令人佩服。

（三）项武义教授最近解决了球装（Sphere Packing）的问题。这问题有近四百年的历史，是一项富有历史意义的工作。

这个单子还可继续写下去。近年来中国数学家的贡献，是不可忽视的。

数学是什么？数学家究竟做些什么事？一个严格的定义会引我们进入一死胡同。大致说来，数学与其他科学一样，它的发展基于两个原因：（一）奇怪的现象；（二）数学结果的应用。

一个例子是以下的“幻方”，其中的九个不同的数目，横加、直加，和沿两条对角线的和都是 15。可惜幻方只是一个奇迹，没有什么应用。另外的一个奇迹，圆周长 $L$ 对直径 $d$ 的比率，$L/d = \pi$，是一个常数。这个结果可是重要了！$\pi$ 这个数渗透了整个数学!

杨振宁先生讲过这样的故事：我们都知道，德国大数学家高斯（C. F.Gauss，1777-1855）在读小学的时候，老师出了一个题目：求 $1 + 2 + 3 + … +$ 某数的和。同学们都用死算，高斯却获得一个公式、可以立刻求得答案。方法是命

$S = 1 +2 + 3 + … + n$

将各项倒过来写，则得

$S = n + (n-1) + (n-2) + … + 1$

由此可见每列两个数的和都是 $n + 1$。因有 $n$ 列，得

$2S=n(n+1)$

即 $S=\dfrac{1}{2}n(n+1)$

振宁把这算法讲给他的孩子听，大家都了解和欣赏。但一年后问起这个问题，却都忘了。杨振宁、陈省身同比我们更聪敏的人不同的地方，是我们了解这个推论的美和力量，听过之后，永远不忘。

谈到数学的欣赏，让我再讲一个故事：当代有名的数论大家 Atle Selberg（1917- ）曾经说，他喜欢数学的一个动机，是以下的公式：

$\pi/4 = 1 – \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} -…$

这个公式实在美极了，单数 1，3，5，… 这样的组合可以给出 $\pi$。对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽的图画或风景。凡读过初等微积分的人大多应碰到这个公式。如果只因为考试而背诵它，这个人便不必读数学。

数学史上的几件大事

不管数学是什么，数学家在继续推展它的范围。最奇妙的，是新数学得到不能想像的应用。数学工作的主要目的，是了解新数学的性质，尤其是它与传统数学不同的地方。结果把奥妙变为常识，复杂变为简单，数学便成为科学的有力而不可缺少的工具。

兹举数学在历史上的若干进展为例：

（一）一本划时代的书是欧几里得（Euclid，约 300 BC）的“几何原本”。它把空间的几何性质，从一组公理出发，用逻辑推得。欧书范围其实不限于几何。这本书把数学建为一项系统的学间，不再是一堆汇集的问题。历史上有一段时间，欧书也用来练习推理，成为一本通俗的教科书。

（二）欧书讨论的范围，限于平面上的直线、圆周、和空间的相当图形。等到 Descartes（1596 -1650）引进解析的方法，便可研究平面上由任意方程

$F(x,y)=0$

所定的曲线。几何的范围扩大了！ 但任意曲线或任意函数的研究要等 Newton 和 Leibniz 创立了微积分，才特别有效。这个时期另一个重要的数学家是 Fermat（1601-1665）。他同时发现了许多解析几何和微积分的观念，可惜他在生前未曾发表。

（三）微积分的一个基本新观念是无穷： 无穷大或无穷小。由无穷便引到极限。澄清这些观念不是一件容易的事，费了数学家约两百年的时间。它牵涉到实数系统、拓扑和数学的基础。一个关键的人物是 Cantor（1845-1918）。他的点集论独创新意，高瞻远瞩，为数学立了基础。

（四）数学上另一个基本概念是群。最早的问题是解代数方程，要把任意方程

$x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x_1+a_n=0$

的根表为系数的只含根号的函数。要回答这个问题，需要群的观念。最先认清这个关系的，是法国的年轻数学家 Galois（1811-1832）。群的观念从此深人到每个数学领域。

在几何方面有变换群。 欧氏空间的全体运动组成一个群。其他还有投影变换群，等角变换群等等。这种群是无限的，他的元素组成一个空间。他们都是李群的特例。创始人 Lie（1842-1899）是挪威的数学家。 李群是数学上一个基本的概念。

有限群的研究是很困难的。要了解它们的结构，数学家把它们分解为单群。但是单群并不“简单”：有许多极大的有限单群。当代领袖的代数学家说：有限的单群已经完全确定了。可是这个定理的证明，需要二千页，也还没有人把它完全写下来。

（五）上面说过，解析几何推广图形的范围。最普通的一个情形，是在 $n$ 维空间 $R_n$内，讨论一组方程式

这是一个极为丰富的课题。如果 Fi 是多项式，这是代数几何。高斯当年研究了 $n=3$，$m=1$ 的情形，即欧氏空间的曲面论。他的一篇论文是微分几何奠基的文章。他注重于曲面的参数表示。这个想法引到流形的基本概念，在近代数学中占有中心的地位。

流形把空间的观念扩大了。在微分流形上可以用微积分的工具，实施种种运算。这个发展使微分几何成为数学的一个中心领域。

（六）请容许我谈一些同我个人工作有关的一个方面，即所谓纤维丛和连络。我们有种种特殊的空间，如欧氏空间、矢量空间、仿射空间等等。我们也有一般的拓扑空间。前者有深刻的性质，后者富于普遍性。纤维丛是把两者串连起来的一个观念。它是一个自然的发展，也十分有用。它有局部的性质和整体的性质。 前者容易描写和度量，后者选出重要的性质。纤维丛的现象出现于数学的各部门和理论物理中。

物理上有四种力：核力、电磁力、引力和弱力。现在大家公认：这四种力的能都是规范场。纤维丛的连络是规范场论的数学基础。

当前的数学界

二十世纪数学的一个现象，是职业数学家人数的大量增加。美国几个数学会的全体会员录列五万六千多人，其中绝大多数是有博士学位的。

数学成为一个社会现象，大约发生于一百年前。今年德国数学会庆祝成立一百周年。前年则有美国数学会成立百年纪念。国际数学家会议的首次会于 1897 年在瑞士 Zurich 举行，会期三天。第一个演讲者是法国的庞加菜，题目是“纯分析同数学物理的关系”（庞氏因病未能出席，演讲由人代读）。值得注意的是这题目今天仍适用，但“分析”似应改为“几何”。国际数学会议每四年举行一次，今年八月在日本京都。1994 年将回到 Zirich 开会。

另一个现象是计算机的侵入。计算机引发了许多新的课题，如 Recursive Functions，如 Complexity，如 Fractals 等等。它对于许多数学工作有用，也使若干问题改观。但究竟影响有多大，则是一个聚讼的问题。数学天地虽小，也是很热闹的。

计算机的立刻的影响，恐怕是数学教育。从前需要学习的某些方法，现在不再需要，至少应该改变。这种讨论对于数学的发展是健康的。

第二次世界大战以后，科学受到重视，数学研究也得到社会的支持。有些人可靠做研究生活。这个情形的一个效果，是使得数学工作者同相类的工作者有相类的待遇，因此能吸收有才能的新人进入工作的行列。

一个发展是研究所的成立。最早而最有名的是 Princeton 的 Institute for Advanced Study。这个故事值得一讲！二十年代美国纽约的大百货公司 Macy 公司的老板 Louis Barmburger 决定捐一大笔款办理科学事业，问计于教育家 W. Flexner。F 先生的建议说：“你的捐款数目很大，但是不足以办一个第一流的试验科学研究所。如果侧重数学，则可能是第一流的”。B 先生听了他的话。恰好德国希特勒于 1933 取得政权，IAS 请到爱因斯坦、Hermann Weyl 等教授。不出十年，Princeton 成了世界数学研究的中心。

IAS 的主要节目，是网罗年轻有为的数学家，给他们优良的环境和工作机会。作者第一次在那里，是 1943-1945，完成了我一生最重要的工作。此恩令人难忘。以后我还去过三次（短期访问不计），都给我愉快的回忆。

继起的研究所有：巴黎的 Institut des Hautes Etudes，英国 Warwick 的 Mathematics Institute，日本京都的 Mathematical Sciences Research Institute，Bonn 的 Max Planck Institut，以及巴西、墨西哥等研究所。最近成立的有苏联列宁格勒的研究所，和正在计划中的英国剑桥的牛顿研究所。这些研究所都有著名的常任研究人员，广泛的项目，也十分欢迎合格的访问数学家。

讲到研究所，自然应提到 Berkeley 的 MSRI，因为我曾经起过若干作用。这是美国国家基金会支持的，是美国第一个政府办的数学研究所。在一个民主的国家，这种事要经过长期的酝酿。等到决定举办以后，它的地点更是大家争逐的目标。 我同 I. Singer 及 C. C. Moore 送进一份计划书以后，没有做过任何争取的努力。我可以想像 Berkeley 计划的优点，获选并非偶然。1982 年成立以来，备受好评。

尽管大家鼓吹交流和合作，我相信数学研究主要靠个人。一个人的创见是努力和灵感的结晶，不是同一群人讨论的结论。数学是一个广泛而复杂的学间，自然需要吸收各方面的知识和观点。但更要紧的是要有个人的风格。

数学的研究与其他科学相比， 有一个显著的不同的地方：它是向多方面发展的。当今的物理科学和生物科学往往有几个主题。但数学的研究方向比较可随个人自由选择。所以工作不必集中于几个大的中心，研究人员可较分散。一个有能力有决心的人，可以随不同的途径，完成他的志愿。

二十世纪是数学的一个黄金时代。

纯粹数学与应用数学

数学上一个极大的谜是：为什么数学会有用？

上面所讲的圆周率 $\pi$ 遍见于数学公式。为了要使每个一元二次方程都有解，我们引进虚数i。没有复数就没有电学，就没有近代文明。

近来一种风气，是在数学机构上，加“应用”两字。其实纯粹数学与应用数学是很难划界的。再举一个例：代数拓扑中有所谓“结”理论（knot theory），问空间绳子的结，是否可不经剪断而解开。例如下图的梅花结就解不开。这个问题在分子生物学 DNA 的结构研究中，极为重要。所以生物学家需要学微分几何与代数拓扑。柏克菜的 V. Jones 教授因为“结”论与算子代数的工作，获国际数学会的 1990 年 Fields 奖。他引进了结的新的不变式，现称为 Jones 多项式。

科学的发展需要数学。但是历史告诉我们，他们所需要的数学，往往为数学家所已发展。这是数学家值得自豪的，也是一件十分神秘的事实。

我相信数学是有内容的，不完全是逻辑。二十世纪数学中的菩萨包括黎曼（Riemann）、庞加莱。大致说来，黎曼把数学建立在流形的观念上，庞加莱则发展高维的数学。流形不必光滑，非紧致的流形将有更多几何性质，若千无限维流形会有美丽的现象，这些都是可以期望的远景。

两千年的数学发展是连续的。这个现象当可继续。不过二十一世纪的数学将是一个新的天地。世变不可知，可引以自慰的是数学是一个坚固的结构。我想有人类就有数学！

结论

中国数学的发展已具有充分的条件，不妨考虑一下当前有些什么事可做：

（一）要有信心。千万把自卑的心理放弃，要相信中国会产生许多国际第一流的数学家。也没有理由中国不能产生牛顿、高斯级的数学家。

法国文学家 Romain Roland 写过一本书， 记载中古时代德国音乐家在罗马的故事。罗马人笑他们，这种野蛮的人，如何懂音乐？ 没有多少年德国出了 Bach，Beethoven。我做学生的时候，曾经看见日本人写的文章，说中国人只能习文史，不能念科学。这种荒谬的说法当时也可言之成理。

中国应建立若干基地。交流仍是必要的，但应求逐渐对等。

（二）希望社会能认识中国成为数学大国是民族的光荣，而予以鼓励和支持。例如：不要把数学家看成“怪人”。中国没有出牛顿、 高斯这样伟大的数学家是社会的、经济的现象。中国的大数学家，如刘徽、祖冲之、李治等都生逢乱世。我想治世时聪敏人都去求功名做官去了。这情形现在并没有改变。要提倡数学，必须给数学家适当的社会地位和待遇。